이산구조를 마치며: 유한하고 이산적인 세계를 엄밀하게 다루는 법

 이산구조 강의 첫 시간에 교수님께서 그러셨다. 내가 작성한 코드가 어떻게든 돌아가는 것과, 어떤 예외 상황에서도 오류 없이 완벽하게 동작한다는 것을 증명하는 것은 매우 다르다고.

 

 벌써 한 학기가 지났다.

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엄밀하게 주장하는 법

 귀납법, 논리, 집합. 처음엔 솔직히 낯설지 않았다. 고등학교 때도 비슷한 내용을 배웠으니까. 그런데 그때는 문제를 풀기 위해 배웠다면, 이번엔 달랐다. 이게 왜 필요한지, 어디에 쓰이는지를 알고 배우니까 같은 내용인데도 새롭게 느껴졌다.

 직관이나 경험으로는 "항상 성립한다"라고 말할 수 없다. 귀납법은 그 말을 엄밀하게 할 수 있게 해주는 도구였다.

 

세계를 구조로 표현하는 법

 그래프, 관계, 상태와 불변량. 여기서 가장 애를 먹었다.

그래프는 어느 정도 아는 내용이었다. 문제는 관계였다. Reflexive, Antisymmetric, Transitive — 이름은 익숙한 듯한데, 막상 어떤 성질이 성립하는지 판단하려니 내가 아는 건지 모르는 건지 구별이 안 됐다. 아는 듯 모르는 듯한 느낌이 가장 불편하면서도 흥미로운 부분이었다.

 현실의 복잡한 구조를 수학적 언어로 옮기는 것. 익숙해지기까지 시간이 걸렸지만, 그만큼 배운 게 많은 파트였다.

 

그 구조가 얼마나 효율적인지 따지는 법

 Order notation, 급수, 점화식. 익숙한 듯 새로운 파트였다.

계산이 낯설지는 않은데, 증명이 많았다. O, Ω, Θ를 정의하고 c와 n₀을 직접 찾아서 성립함을 보이는 과정은 손으로 직접 적어가며 풀어야 감이 잡혔다. 알고리즘이 빠르다는 걸 "빠른 것 같다"가 아니라 수학적으로 보이는 법을 배웠다.

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 한 학기가 끝난 것이지, 이산구조에 대한 공부가 끝난 것이 아니다.

 

 이산구조가 전공기초인 이유가 있을 것이다. 아직 이게 어디에 어떻게 연결되는지 다 보이지는 않는다. 하지만 배우고 나면 보일 것들이 있을 거라는 건 안다. 그때 이 기록이 돌아볼 수 있는 출발점이 되면 충분하다.

 

 미완성의 기록은 계속된다.